HOME > 技術談話 > 論理演算小技１

はじめに　任意のビットをクリア　任意のビットをセット　任意のビットを反転　０，１，２，３の繰り返し　１、２の繰り返し
変数クリア　２の補数　奇数偶数判定　４の倍数判定

■はじめに

　論理演算では算術演算と異なり「ビットの変化」を正しく理解していることが必要です
　普段の生活では利用頻度が少ない演算手法ですが、算術演算や条件判定を高速、最適化することができます。
　ビット操作をサポートしている言語もありますが、本章では汎用的なバイトデータでの利用手法を説明しています。

■任意のビットをクリア

　残すビットには１、クリアするビットには０を組み合わせた値で論理積（ＡＮＤ）を行います。

　例えば、あるバイトデータ。内容は5CHの下位４ビットをクリアするのであれば、F0Hで論理積を行います。

　左側の８個の数字の並びは２進数表現です。数字の後ろにHが付与されている箇所は１６進数表現になります。

　元の値が何であろうと１で論理積された結果には元の値が引き継がれていることに注意してください。
　論理演算では同位置のビットに影響を与えますが、その影響範囲は当該ビット位置だけです。
　また、バイトデータは８ビットですが、ロング型のデータを利用すれば３２ビットを一度に論理演算することができます。

■任意のビットをセット

　残すビットには０、セットするビットには１を組み合わせた値で論理和（ＯＲ）を行います。

　例えば、あるバイトデータ。内容は5CHの下位４ビットをセットするのであれは0FHで論理和します。

　元の値が何であろうと０で論理和された結果には元の値が引き継がれています。

■任意のビットを反転

　残すビットには0、反転するビットには1を組み合わせた値で排他的論理和（ＸＯＲ）を行います。

　例えば、あるバイトデータ。内容は5CHの上位４ビットを反転するのであればF0Hで排他的論理和します。

　元の値が何であろうと０で排他的論理和された結果には元の値が引き継がれています。

■０、１、２、３の繰り返し

　０、１、２、３が下位２ビットの連続変化した値であることに気が付けば対応は簡単です。

　ここでは最大の値である３を例に説明します。
　まずは元の値に対して＋１します。計算上は下位２ビット目からの桁上がりが生じます。

　この＋１した値に下位２ビットを1とした論理積（ＡＮＤ）を行います。

　今回の例では３を元に一連の手順から０を得ることができました。
　元の値が０、１、２の場合も同様です。検算は各自で行ってください。

　さて、この手続きをプログラム風（Ｃ言語風であって、Ｃ言語ではありません）に記述すると、
　　Y = (A + 1) & 03H
となります。非常にシンプルな式です。３から０への回り込み判定のための命令は不要です。

　更に、今回の例では０〜３の４通りの組み合わせですから、この４をTOTALと宣言すれば、
　　Y = (A + 1) & (TOTAL - 1)
となります。
　組み合わせ数は事前に定義されていることが多いので、その定義を引用すれば情報を一元管理できます。

　４という値にピンときましたか？
　この方法は０からの連続した値で組み合わせ数が２の階乗の場合に有効です。例えば、８や１６の場合も通用します。

　今回の場合、値の循環する範囲が０〜３で限定されますので、０〜４という指定には利用できません。
　つまり、仕様変更が生じた場合は融通が効かないのが難点です。

■１、２の繰り返し

　この場合は厄介ですが、排他的論理和（ＸＯＲ）を利用することで実現できます。

　まず、条件を整理します。下位２ビットだけが変化し、ビットが反転していることに気が付くと思います。

　各ビットが反転していることから、下位２ビットに1で排他的論理和（ＸＯＲ）を行うと求める値を得ることができます。
　排他的論理和（ＸＯＲ）は1を指定すると元の値に対して反転する働きがあることを思い出してください。
　では、１の状態から２への移り変わりを見てみます。

　続いて２の状態から１への移り変わりを見てみます。

　今回の場合は値の循環する範囲が１〜２ですが、それ以外の巡回範囲の場合は対応することが困難です。
　前回のテーマと同様ですが、論理演算は高速化には有利ですが、仕様変更に対する融通が効きません。

■変数クリア

　今時のＣＰＵではクリアのための専用命令がありますが、無い場合の対処方法です。
　多くの場合、算術演算で00Hを代入する方法が採用されますが、この00Hを容易に生成する方法を紹介します。

　方法は単純です。値は何でも良く、値同士を排他的論理和（ＸＯＲ）するだけです。
　例えば、既に存在するレジスタの値が5CHの場合、当該レジスタを当該レジスタで排他的論理和します。

　排他的論理和では入力値が同じ場合は0になるという特性を利用しています。
　Ｃ言語で記述した場合は想定外の結果（アセンブラ内容）が得られる場合があるので注意してください。
　この方法はプログラマがアセンブラで命令を記述する場合に明示的な効果があります。

■２の補数

　２の補数は算術演算を利用し、０から値を引き算することで作成することができます。表現としては、
　　Y = 0 - A　、　もしくは、　Y = - A
です。何れの場合でも事前に00Hが必要になることは確かです。

　では論理演算を使用して２の補数を得る場合はどうするか？
　ずばり、２の補数を作成するには値を反転して＋１です。筆算でも簡単にできますので覚えておいてください。

　では、+5の２の補数を作成し-5にする例を考えます。
　まず、元の値を否定（ＮＯＴ）します。

　つづいて＋１を行います。

　値を反転しただけの場合を１の補数と呼びますが、１の補数は以後の算術演算で直接利用することができません。
　２の補数表現された値だけが正の値との混合演算が可能です。

　蛇足ですが、-5の２の補数を作成すると+5にになります。これについては各自で検算してください。

■奇数偶数判定

　任意の値が奇数であるか偶数であるかを判断したい場合があります。
　この場合、２で割った時の余りの有無で判断する方法があります。が、割り算は比較的重い処理になってしまいます。
　コンパイラによっては効率よく判断してくれる場合もありますが、ここではその効率の良い方法について説明します。

　まず奇数と偶数の特性を整理します。単純に２で割り切れる値が偶数です。まさに算数の世界です。
　０〜５までの数を２進数表現と共に以下にまとめますが、偶数と奇数はそれぞれ１つおきに出現しますね？

　これにヒントの色を加えます。

　気づきましたか？
　そうです。最下位のビットが０、１、０、１と繰り返すと共に、０の時に偶数、１の時に奇数であることが判明します。

　つまり、最下位ビットだけ注目すれば奇数と偶数は判断できるのです。
　すなわち最下位ビットだけ1の論理積（ＡＮＤ）を行えば、その結果だけで奇数と偶数を判断することができます。

　試しに、偶数の代表として4を演算してみます。

　結果は０になりました。つまり、偶数であることが判明します。
　つづいて、奇数の代表として5を演算してみます。

　今度は結果が１になりました。よって奇数であることが判明します。

　01Hで論理積（ＡＮＤ）することは２で割った余りを求めた場合と同じ結果を得ることができます。

■４の倍数判定

　任意の値が４の倍数であるかを判断したい場合があります。
　この場合、前述の奇数偶数判定と同様、４で割った余りが０であれば４の倍数と判断することができます。が、…。
　ここでも割り算を使わずに高速に判断する方法について考えてみます。

　奇数偶数判定と同様、値を確認してみます。確かに４で割った余りが０の場合は４の倍数です。

　これにヒントの色を加えます。

　４の倍数判定は奇数偶数判定の応用です。２進数での最下位２ビットの値が00の場合に４の倍数になります。
　つまり、下位２ビットに注目するだけで４の倍数を判断することができるのです。ここでも論理積（ＡＮＤ）の出番です。

　下位２ビットに注目する…この場合、利用する値は03Hです。
　では、試しに2を演算してみましょう。

　結果は02Hになりました。00H以外の結果ですので2は４の倍数ではありません。
　続いて、6を演算します。

　この場合も結果は02Hになりました。00H以外の結果ですので6は４の倍数ではありません。
　更に、8を演算します。

　この場合は結果が00Hになりました。00Hですので8は４の倍数です。
　既に気がついている人もいると思います。03Hで論理積（ＡＮＤ）した結果は４で割った時の余りに等しくなります。

　この手続きをプログラム風（Ｃ言語風であって、Ｃ言語ではありません）に記述すると、
　　if (A & 03H)
となります。割り算を使用しないので高速に判断を行うことができます。

　ところで、03Hが4-1であることに気が付きましたか？
　この4をGRPと宣言すれば、
　　if (A & (GRP - 1))
となります。

　今回は４の倍数の例ですが、２の階乗の値であるならば倍数判断は容易です。例えば８や１６でも応用できます。

　難点は２の階乗以外の倍数については判断できないことです。例えば１０や１００の倍数判断の場合です。
　これについては特殊な方法で割り算を使用せずに判断する方法がありますが、別の章で説明したいと思います。